Matemática - Decomposição por Números primos, MDC e MMC

"Tá bom. Tem decomposição, que é fácil e que eu já sei.
MAS AGORA, OQUE É ISSO??????? DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS? AGORA TEM A ÁRVORE FAMILIAR DA MATEMÁTICA, COM TIO, TIA, IRMÃO E TUDO O MAIS?????"

Acalme-se, pequeno amigo! O (quase inútil) Blog Você e o Mundo está aqui para te ajudar a entender o que é isso!

Decomposição por Fatores Primos

Bom, você sabe decompor, certo? Por exemplo, decompondo o numero 111, obtemos 100 + 10 + 1, correto? Pois bem, agora, tente dividir o número 70, mas com apenas multiplicações. Mas lembre-se, elas devem ter o menor multiplicador possível!
(Se você não entendeu, simplesmente decomponha fazendo multiplicações com o menor número possível.)

Temos o resultado: 2 x 35, que dá 70, certo? (Há várias maneiras de fazer essa conta)
Agora, você conhece os números primos e compostos, certo? Então, tente fazer essa mesma decomposição, porem somente com números primos!

Temos um resultado:
2 x 5 x 7, que também dá 70.
Basicamente, isso é a decomposição em fatores primos. Fator vem da multiplicação, ou seja, você faz divisão multiplicando números primos.

Se você quer uma lista com os números primos até 100, aqui vai:

2 - 3 - 5 - 7 - 11 - 13 - 17 - 19 - 23 - 29 - 31 - 37 - 41 - 43 - 47 - 53 - 59 - 61 - 67 - 71 - 73 - 79 - 83 - 89 - 97

Agora que nós revemos o que é decomposição por fatores primos, podemos ir ao próximo tópico:

Mínimo Múltiplo Comum (mmc)

E aqui estamos! O mínimo múltiplo comum, quando dois ou mais números tem múltiplos em comum, por exemplo, na tabuada do 2 e na do 4, aonde em ambas temos o número 4, portanto, o mínimo múltiplo comum de 2 e de 4, é 4.
Olhe só! Ouve esse som? É o som de você, gritando desesperadamente "MAS NICOLAS, COMO QUE EU FAÇO PRA SABER QUAL É O MMC DE 2 NÚMEROS DE MODO MAIS RÁPIDO, EM? EM? EM?????"
Bom, há um jeito muito simples para fazer isso:

Como exemplo usaremos os números 10 e 50, ambos compostos.

Primeiro, fazemos o mesmo esquema da decomposição em fatores primos, mas com os 2 números em uma tabela:

10, 50| 2

Então, vamos ver.... Os dois são divisíveis por 2, portanto colocamos 2 na segunda tabela, e o resultado da divisão por 2 dos outros números (10 e 50) no outro lado da tabela.


5, 25| 2

Bom, nenhum deles é divisível por 3, portanto saltamos ao próximo número primo, o 5. Os dois terminam em 5, portanto sabemos que são divisíveis por 5. Repetimos o processo anterior:


1, 5 | 5


E, então, podemos ver que o único número que não é 1 que está no primeiro lado da tabela é o 5, portanto:


1, 1 | 5


No final, a tabela estará assim:

10, 50| 2
5, 25 | 5
1, 5  | 5
1, 1


Agora, nós pegamos os números que estão do outro lado da tabela, ou seja, 2, 5 e outro 5, e multiplicamos eles, portanto, faremos a seguinte multiplicação: 2 x 5 x 5 (ou 2 x 5²), e obtemos como resultado o 50.
Portanto, podemos concluir que o mínimo múltiplo comum entre 10 e 50 é 50, e em simbolismo, isto é: mmc(10, 50) = 50.

Então, temos mais um tópico, e o último deste Post.

Máximo Divisor Comum (mdc)

O Máximo Divisor Comum, ou mdc é quando dois números tem um (ou mais) divisor(es) em comum. Porém, nós pegamos o divisor que eles tem em comum com valor mais alto. Por exemplo, temos os números 50 e 100.

Vou mostrar hoje 2 maneiras de se achar o mdc desses números.

1ª forma:

Pegamos os dois números e listamos todos os seus divisores:

D(50) = {1, 2, 5, 10, 25, 50.}

D(100) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.}

E então, vemos que eles tem vários divisores em comum: 1, 2, 5, 10 e 50. Pegamos apenas o de maior valor, ou seja, o 50.
Então, sabemos que o Máximo Divisor Comum (mdc) de 50 e 100 é igual a 50. No simbolismo, isto é: mdc(50, 100) = 50.

2ª forma:
Esta forma envolve decomposição em fatores primos. Primeiro, iremos decompor em fatores primos ambos os números.

Decompondo o número 50 em fatores primos obtemos: 2 x 5 x 5 (ou 2 x 5²).

Decompondo o número 100 em fatores primos obtemos: 2 x 2 x 5 x 5 (ou 2² x 5²).

Então, marcamos os números que ambos os resultados tem em comum.

Marcamos, então [2], [5] e [5], e multiplicamos eles.

2 x 5 x 5 (ou 2 x 5²) = 50.
Portanto, mdc(50, 100) = 50.

Possíveis Dúvidas sobre a 2ª forma de calcular o mdc:

"E se um dos números que está numa das contas não estiver na outra?"
R: Você não o marca. Marque apenas os números que aparecem no resultado de ambas as contas.

"E se um dos números que está numa das contas aparece 2 vezes, e na outra apenas 1 vez?"
R: Você só marca um dos números que se repete.

"Há uma forma mais fácil? Isso é muito difícil!"
R: Infelizmente, a única outra forma é a mais complicada de todas.


Enfim, pessoal, isso foi tudo! Espero que tenham aprendido alguma coisa com este post, e espero ter-los ajudado em algo! Por favor, deixem seus comentários sobre o que acharam, e se não quiser perder nenhum post, seja um seguidor!

-Nicolas